{"id":23082,"date":"2025-07-07T18:43:07","date_gmt":"2025-07-07T16:43:07","guid":{"rendered":"https:\/\/www.astor.com.pl\/poradnikautomatyka\/?p=23082"},"modified":"2025-07-07T18:43:09","modified_gmt":"2025-07-07T16:43:09","slug":"wykrywanie-obiektu-w-locie-na-robotach-kawasaki-robotics-porownanie-funkcji-hsense-oraz-xmove","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.astor.com.pl\/poradnikautomatyka\/wykrywanie-obiektu-w-locie-na-robotach-kawasaki-robotics-porownanie-funkcji-hsense-oraz-xmove\/","title":{"rendered":"Wykrywanie obiektu \u201ew locie\u201d na robotach Kawasaki Robotics \u2013 por\u00f3wnanie funkcji HSENSE oraz XMOVE"},"content":{"rendered":"\n
<\/div>\n\n\n\n
\n

Z tego artyku\u0142u dowiesz si\u0119:<\/h3>\n
    \n
  • jak wykona\u0107 precyzyjne pozycjonowanie w aplikacjach handlingu,<\/li>\n
  • do czego s\u0142u\u017c\u0105 i jak dzia\u0142aj\u0105 funkcje HSENSE i XMOVE,<\/li>\n
  • w jaki spos\u00f3b wykorzysta\u0107 te funkcje do precyzyjnego pozycjonowania.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n

    W pewnym uproszczeniu mo\u017cna powiedzie\u0107, \u017ce robot pracuj\u0105cy w aplikacji z pola szeroko rozumianego handlingu ma za zadanie przenie\u015b\u0107 przedmiot z punktu A do punktu B. Gdy wszystkie elementy znajduj\u0105 si\u0119 idealnie na miejscu, zadanie jest proste w realizacji i szybkie do zaprogramowania.\u00a0 Jak jednak wiadomo, niezmiernie rzadko si\u0119 zdarza, \u017ce wszystkie elementy znajduj\u0105 si\u0119 idealnie na miejscu. Do sprawnego dzia\u0142ania elementy nale\u017cy pozycjonowa\u0107 lub znajdowa\u0107.\u00a0 Jak zatem poradzi\u0107 sobie w przypadku, gdy wymiary i pozycja przedmiotu mog\u0105 si\u0119 r\u00f3\u017cni\u0107 od zadanych?\u00a0 <\/strong>\u00a0\u00a0<\/p>\n\n\n\n

    W takim wypadku potrzebujemy wyposa\u017cy\u0107 robota w zmys\u0142 widzenia lub dotyku, aby znale\u017a\u0107 i zmierzy\u0107 poszukiwany przedmiot. Mo\u017cna to zrobi\u0107 a pomoc\u0105 system\u00f3w wizyjnych 2D i 3D, kt\u00f3re jednak mog\u0105 okaza\u0107 si\u0119 zbyt drogie, aby aplikacja osi\u0105gn\u0119\u0142a akceptowalne ROI, szczeg\u00f3lnie bior\u0105c pod uwag\u0119 fakt, \u017ce nie wykorzystamy nawet u\u0142amka ich potencja\u0142u.<\/p>\n\n\n\n

    Do detekcji obiektu wystarcz\u0105 nam podstawowe czujniki r\u00f3\u017cnych typ\u00f3w np. optyczne, pojemno\u015bciowe, indukcyjne czy inne \u2013 o w\u0142a\u015bciwym dla poszukiwanego materia\u0142u typie detekcji. Jednak daj\u0105 nam one informacj\u0119 wy\u0142\u0105cznie o obecno\u015bci przedmiotu. Jak zatem dokona\u0107 pomiar\u00f3w i zorientowa\u0107 przedmiot w przestrzeni?<\/p>\n\n\n\n

    Wykorzystuj\u0105c informacj\u0119 o detekcji przedmiotu, pozycj\u0119 robota, matematyk\u0119 i odrobin\u0119 in\u017cynierskiego sprytu jeste\u015bmy w stanie znale\u017a\u0107 i rozpozna\u0107 wiele cech geometrycznych przedmiotu oraz jego pozycj\u0119 wzgl\u0119dem robota.<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"
    Za\u0142adunek obrabiarki z wykorzystaniem funkcji HSENSE do wykrywania pozycji detali. \u0179r\u00f3d\u0142o: ASTOR<\/em><\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n

    Definicja problemu in\u017cynierskiego<\/h2>\n\n\n\n

    Niech w dalszej cz\u0119\u015bci towarzyszy nam nast\u0119puj\u0105cy problem in\u017cynierski:<\/p>\n\n\n\n

    Na stacji pobrania znajduj\u0105 si\u0119 stalowe kr\u0105\u017cki o znanej \u015brednicy i znanej grubo\u015bci. W gniazdo poboru odk\u0142adane s\u0105 r\u0119cznie . Stos detali zawsze liczy 3 sztuki i po wykorzystaniu wszystkich jest ponownie uzupe\u0142niany przez operatora. Detale pobierane s\u0105 chwytakiem szcz\u0119kowym. Robot wyposa\u017cony jest w czujnik optyczny. Plamka czujnika ma 2 mm \u015brednicy. Nasz chwytak ma 7 mm luzu pomi\u0119dzy szcz\u0119kami a przedmiotem przy w pe\u0142ni otwartych szcz\u0119kach. B\u0142\u0105d pozycji wi\u0119kszy ni\u017c 7 mm b\u0119dzie skutkowa\u0142 kolizj\u0105 robota. W jaki spos\u00f3b znale\u017a\u0107 \u015brodki okr\u0119g\u00f3w poszczeg\u00f3lnych kr\u0105\u017ck\u00f3w, kt\u00f3re b\u0119d\u0105 pozycjami pobrania?<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n\n

    Obliczenia         <\/h2>\n\n\n\n

    Aby wyznaczy\u0107 \u015brodek okr\u0119gu, potrzebujemy przynajmniej 3 punkt\u00f3w na okr\u0119gu.<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n

    R\u00f3wnanie dla okr\u0119gu na p\u0142aszczy\u017anie<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Dla okr\u0119gu znajduj\u0105cego si\u0119 na p\u0142aszczy\u017anie obliczenia wygl\u0105daj\u0105 nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n\n\n\n

    1. R\u00f3wnania dla p\u0142aszczyzny:<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n

    2. Do wzoru podstawiamy wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne 3 punkt\u00f3w:<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n

    3. Na podstawie tych wzor\u00f3w\u00a0 uk\u0142adamy uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144:<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n

    Nast\u0119pnie wykorzystuj\u0105c wzory skr\u00f3conego mno\u017cenia przekszta\u0142camy uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144, aby z nich uzyska\u0107 warto\u015bci\u00a0xs<\/sub> oraz ys<\/sub>\u00a0, kt\u00f3re oznaczaj\u0105 \u015brodek naszego poszukiwanego\u00a0okr\u0119gu:<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n

    Nast\u0119pnie u\u017cywaj\u0105c metody podstawienia:<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n

    wyznaczamy wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne xs<\/sub> oraz ys<\/sub> :<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n

    Znaj\u0105c wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne punkt\u00f3w na okr\u0119gu i podstawiaj\u0105c je do powy\u017cszych wzor\u00f3w uzyskamy wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne \u015brodka okr\u0119gu.<\/p>\n\n\n\n

    R\u00f3wnania dla przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Powy\u017csze wyprowadzenie jest pewnym uproszczeniem, poniewa\u017c robot pracuje w przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej. Aby niepotrzebnie nie odchodzi\u0107 od g\u0142\u00f3wnej tre\u015bci artyku\u0142u, wyprowadzenie r\u00f3wna\u0144 dla przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej zosta\u0142o przedstawione w dodatku na ko\u0144cu artyku\u0142u.<\/em><\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n\n

    Zapis oblicze\u0144 w programie robota<\/h2>\n\n\n\n

    Obliczenia dla punkt\u00f3w na p\u0142aszczy\u017anie s\u0105 ju\u017c do\u015b\u0107 skomplikowane i  czasoch\u0142onne do wprowadzenia w postaci funkcji matematycznych w programie robota. Na szcz\u0119\u015bcie nie musimy wprowadza\u0107 ich sami, poniewa\u017c istnieje gotowa funkcja do wyznaczenia \u015brodka okr\u0119gu:  CCENTER.<\/p>\n\n\n\n

    CCENTER( pose1,pose2,pose3,pose4)<\/em><\/p>\n\n\n\n

    Punkty 1-3 maj\u0105 znajdowa\u0107 si\u0119 na okr\u0119gu a czwarty punkt s\u0142u\u017cy do przepisania po\u017c\u0105danej orientacji.<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"
    Za\u0142adunek obrabiarki z wykorzystaniem funkcji HSENSE do wykrywania pozycji detali. \u0179r\u00f3d\u0142o: ASTOR<\/em><\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n

    Oprogramowanie problemu in\u017cynierskiego<\/h2>\n\n\n\n

    Cz\u0119\u015b\u0107 matematyczn\u0105 mamy za sob\u0105. Jak teraz znale\u017a\u0107 3 punkty na kraw\u0119dzi naszego przedmiotu?<\/p>\n\n\n\n

    Zazwyczaj programi\u015bci wykorzystuj\u0105 do tego funkcj\u0119 XMOVE, kt\u00f3ra zezwala na ruch robota a\u017c do pojawienia si\u0119 okre\u015blonego sygna\u0142u wej\u015bciowego.  Nast\u0119pnie nast\u0119puje zatrzymanie robota i po zatrzymaniu programista zapisuje aktualn\u0105 pozycj\u0119 TCP jako punkt detekcji. Minusem tego rozwi\u0105zania jest potrzeba stabilnego sygna\u0142u z czujnika przez min. 50 ms, aby zosta\u0142 uznany za detekcj\u0119, a tak\u017ce droga hamowania robota. Je\u015bli robot z ci\u0119\u017ckim chwytakiem b\u0119dzie hamowa\u0142 z wysokiej pr\u0119dko\u015bci, to delikatnie rozminie si\u0119 z pozycj\u0105 wykrycia.<\/p>\n\n\n\n

    Przy zastosowanie programu przedstawionego poni\u017cej, pozycja wykrycia b\u0119dzie uzale\u017cniona od czasu dzia\u0142ania i histerezy czujnika oraz pr\u0119dko\u015bci TCP robota.  Im wy\u017csza b\u0119dzie pr\u0119dko\u015b\u0107 robota, tym dalej od wykrytej kraw\u0119dzi b\u0119dzie znajdowa\u0142 si\u0119 punkt detect1.<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n\n
    XMOVE pt1 TILL 1001\nBREAK\nHERE detect1\n\u2026<\/code><\/pre>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Funkcj\u0105, kt\u00f3ra w momencie detekcji przez czujnik zapisze nam pozycj\u0119 robota do pami\u0119ci, jest funkcja HSENSE. Monitoruje ona stan sygna\u0142u czujnika i w przypadku zmiany jego poziomu zapisuje aktualn\u0105 warto\u015b\u0107 z\u0142\u0105czow\u0105 do bufora.  Do jej pracy nie jest wymagane przerwanie ruchu robota, a wymagany czas trwania sygna\u0142u nie jest tak wysoki, jak w przypadku XMOVE. Zwykle wystarcza 2 ms, poniewa\u017c jest to czas od\u015bwie\u017cania wej\u015b\u0107 w przypadku wi\u0119kszo\u015bci kontroler\u00f3w Kawasaki.<\/p>\n\n\n\n
    Jak zatem wykorzysta\u0107 opisane funkcje w praktyce?<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Przyk\u0142ad kodu z wykorzystaniem funkcji XMOVE<\/h2>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    TOOL sensor_tool ; ustawienie TCP czujnika\n  ;-----------------------------------------------------------\n  ;           Dojazd do pozycji poszukiwania\n  ;-----------------------------------------------------------\n  HOME\n  LMOVE start\n  ;-----------------------------------------------------------\n  ;           Przejazd przez oczekiwane pozycje stosu\n  ;-----------------------------------------------------------\n  ACCURACY 1 FINE\n  SPEED pr_ruchu mm\/s\n  XMOVE p1 TILL 1001\n  BREAK\n  HERE found1\n  SPEED pr_ruchu mm\/s\n  LMOVE p1\n  SPEED pr_ruchu mm\/s\n  XMOVE p2 TILL 1001\n  BREAK\n  HERE found2\n  SPEED pr_ruchu mm\/s\n  LMOVE p2\n  SPEED pr_ruchu mm\/s\n  XMOVE p3 TILL 1001\n  BREAK\n  HERE found3\n  SPEED pr_ruchu mm\/s\n  LMOVE p3\n  MVWAIT 1\n  LDEPART 100\n  ;-----------------------------------------------------------\n  ;           Obliczenie pozycji srodka okregu\n  ;--------------------------------------------------------------------\n  POINT cylinder_x = CCENTER (found1, found2, found3, start)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Przyk\u0142ad kodu z wykorzystaniem funkcji HSENSE<\/h2>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    TOOL sensor_tool ; ustawienie TCP czujnika\n  ;-----------------------------------------------------------\n  ;           Dojazd do pozycji poszukiwania\n  ;-----------------------------------------------------------\n  SPEED 500 mm\/s\n  LmOVE start\n  ;-----------------------------------------------------------\n  ;           Aktywacja parametrow funkcji HSENSE\n  ;-----------------------------------------------------------\n  HSENSESET 1= 1001,20\n  ;--------------------------------------------------------------------\n  ;           Przejazd przez oczekiwane pozycje stosu\n  ;-----------------------------------------------------------\n  ACCURACY 1 FINE\n  SPEED pr_ruchu mm\/s ALWAYS\n  LMOVE p1\n  LMOVE p2\n  LMOVE p3\n  MVWAIT 1\n  ;\n  .num =0\n  loop:\n  HSENSE1 .result_var,sig_status[.num+1],#hsense_pos[.num+1],.err_var,.mem\n  IF .err_var<>0 THEN\n    .err = 3\n    RETURN\n  END\n  ;\n  IF .result_var == TRUE and sig_status[.num+1]== TRUE THEN\n    POINT detect[.num+1] = #hsense_pos[.num+1]\n    .num = .num+1\n  END\n  IF .mem GOTO loop\n  ;\n  HSENSESET 1 =0\n  SPEED 500 mm\/s\n  LDEPART 100\n  ;-----------------------------------------------------------\n  ;           Obliczenie pozycji srodka okregu\n  ;-----------------------------------------------------------\n  POINT cylinder =CCENTER(detect[1],detect[2],detect[3],start)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Por\u00f3wnanie wynik\u00f3w<\/h2>\n\n\n\n
    Kluczowymi parametrami do por\u00f3wnania obu rozwi\u0105za\u0144 s\u0105: czas dzia\u0142ania programu oraz dok\u0142adno\u015b\u0107 detekcji. W wi\u0119kszo\u015bci aplikacji zrobotyzowanych zale\u017cy nam na dw\u00f3ch parametrach, precyzji i wydajno\u015bci. Gdy mamy do dyspozycji sprz\u0119t najwy\u017cej jako\u015bci, taki jak roboty Kawasaki Robotics, warto wykorzysta\u0107 pe\u0142ni\u0119 jego potencja\u0142u dzi\u0119ki sprytowi programisty i optymalnemu kodowi programu.<\/p>\n\n\n\n
    Przyj\u0119to pr\u0119dko\u015bci pr\u00f3bkowania dla ruch\u00f3w poszukiwania jak w tabeli poni\u017cej. Pozosta\u0142e ruchy wykonywane s\u0105 z pr\u0119dko\u015bci\u0105 500 mm\/s.<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Por\u00f3wnanie uzyskanych dok\u0142adno\u015bci w stosunku do pozycji w K-Roset:<\/p>\n\n\n\n
    \u015arodek detalu w K-Roset zosta\u0142 ustawiony na pozycji X 300, Y 600 wzgl\u0119dem uk\u0142adu bazowego robota .<\/p>\n\n\n\n
    Wykorzystuj\u0105c proste r\u00f3wnanie na odleg\u0142o\u015b\u0107 punktu od \u015brodka okr\u0119gu jeste\u015bmy w stanie sprawdzi\u0107, czy robot mo\u017ce bezkolizyjnie pobra\u0107 detal.<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Na zielono zaznaczono wyniki pr\u00f3b, kt\u00f3re spe\u0142ni\u0142y nasze za\u0142o\u017cenia bezkolizyjnej pracy.<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Podsumowanie<\/h2>\n\n\n\n
    Jak pokaza\u0142y przedstawione testy, funkcja HSENSE dobrze sprawuje si\u0119 w wykorzystaniu do pomiar\u00f3w bezstykowych. Bufor 20 pozycji detekcji, mo\u017cliwo\u015b\u0107 reagowania na zbocza narastaj\u0105ce i opadaj\u0105ce, a tak\u017ce mo\u017cliwo\u015b\u0107 r\u00f3wnoleg\u0142ego monitorowania dw\u00f3ch sygna\u0142\u00f3w daj\u0105 szerokie pole mo\u017cliwo\u015bci. W przypadku wykrywania obiekt\u00f3w, gdy nie istnieje ryzyko kolizji, znacz\u0105co mo\u017ce poprawi\u0107 czas wyszukiwania, a zatem r\u00f3wnie\u017c czas cyklu ca\u0142ej aplikacji.<\/p>\n\n\n\n
    Funkcja XMOVE dobrze radzi sobie przy detekcji obiekt\u00f3w z niskimi pr\u0119dko\u015bciami. Mo\u017cna j\u0105 wykorzysta\u0107 do dokonywania pomiar\u00f3w, jednak jest ona dedykowana do detekcji obiekt\u00f3w na \u015bcie\u017cce ruchu, tak aby w kolejnym kroku pobra\u0107 znaleziony przedmiot.<\/p>\n\n\n\n
    Jak pokaza\u0142y wyniki test\u00f3w, ka\u017cda z funkcji mo\u017ce by\u0107 u\u017cyta do detekcji obiekt\u00f3w. Jednak aby wykorzysta\u0107 ich pe\u0142ny potencja\u0142, nale\u017cy stosowa\u0107 je tam, gdzie poka\u017c\u0105 swoj\u0105 przewag\u0119.<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"
    Detekcja detalu z wykorzystaniem HSENSE. P\u0142ynna trajektoria przejazdu. \u0179r\u00f3d\u0142o: ASTOR<\/em><\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Funkcja HSENSE sprawdza si\u0119 przy pomiarach bezstykowych, gdzie szybko mo\u017cemy wyznaczy\u0107 punkty na kraw\u0119dziach obiektu. Nie sprawdzi si\u0119 natomiast w wypadku, gdy detekcja obiektu odbywa si\u0119 na \u015bcie\u017cce kolizyjnej.<\/p>\n\n\n\n
    XMOVE poka\u017ce swoj\u0105 przewag\u0119 w detekcji i pobieraniu detalu znajduj\u0105cego si\u0119 na \u015bcie\u017cce kolizyjnej. Stosuj\u0105c dwa czujniki i kaskad\u0119 funkcji XMOVE mo\u017cemy zbli\u017ca\u0107 si\u0119 do np. stosu przek\u0142adek z wysok\u0105 pr\u0119dko\u015bci\u0105. Po detekcji z bezpiecznej odleg\u0142o\u015bci przez pierwszy czujnik zwalniamy pr\u0119dko\u015b\u0107 TCP robota i z nisk\u0105 pr\u0119dko\u015bci\u0105 poszukujemy dok\u0142adnej wysoko\u015bci przek\u0142adki na stosie. Po jej detekcji zatrzymujemy robota i pobieramy przek\u0142adk\u0119, a to wszystko na jednej \u015bcie\u017cce ruchu.<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"
     Detekcja detalu \u00a0z wykorzystaniem XMOVE. Widoczne zatrzymanie ruchu w chwili detekcji detalu.<\/em> \u0179r\u00f3d\u0142o: ASTOR<\/em><\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Stosuj\u0105c w\u0142a\u015bciw\u0105 kombinacj\u0119 obu tych funkcji mo\u017cemy uwolni\u0107 pe\u0142ny potencja\u0142 wydajno\u015bci i precyzji naszej aplikacji zrobotyzowanej.<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Dodatek<\/h2>\n\n\n\n
    Wyprowadzenie wzor\u00f3w dla okr\u0119gu w przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej.<\/p>\n\n\n\n
    Za\u0142\u00f3\u017cmy punkty:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    \"\"<\/figure>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    kt\u00f3re znajduj\u0105 si\u0119 na okr\u0119gu, \u015brodek okr\u0119gu w punkcie S ma nast\u0119puj\u0105ce wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne<\/p>\n\n\n\n
    1. Wyznaczamy wektory mi\u0119dzy punktami A,B,C:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    2. Wyznaczamy r\u00f3wnanie p\u0142aszczyzny:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    3. Wiedz\u0105c, \u017ce punkty na okr\u0119gu s\u0105 r\u00f3wno oddalone o promie\u0144 okr\u0119gu od \u015brodka okr\u0119gu:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    upraszczaj\u0105c wz\u00f3r otrzymujemy:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Podobnie dla punkt\u00f3w A i C mo\u017cemy u\u0142o\u017cy\u0107 r\u00f3wnanie:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Trzecie r\u00f3wnanie b\u0119dzie wynika\u0142o z faktu, \u017ce punkt O le\u017cy na p\u0142aszczy\u017anie wyznaczonej przez punkty A,B,C:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    4. Uk\u0142adamy i rozwi\u0105zujemy uk\u0142ad trzech r\u00f3wna\u0144 liniowych, wykorzystuj\u0105c metod\u0119 podstawienia dla uproszczenia zapisu.<\/p>\n\n\n\n
    Dla pierwszego r\u00f3wnania  przyj\u0119to:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Analogicznie dla drugiego r\u00f3wnania:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Oraz dla r\u00f3wnania numer trzy:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Uzyskuj\u0105c tym samym nast\u0119puj\u0105cy uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    5. Korzystaj\u0105c z wzor\u00f3w Cramera zapisujemy uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144 w postaci macierzowej i obliczamy wyznaczniki macierzy:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Macierz g\u0142\u00f3wna A ma nast\u0119puj\u0105c\u0105 form\u0119:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    Na koniec obliczamy wyznaczniki macierzy:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    6. Po przekszta\u0142ceniach otrzymujemy wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne \u015brodka okr\u0119gu:<\/p>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n            
    \n                
    \n                    
    \n                                                    
    Newsletter Poradnika Automatyka<\/h3><\/div>\n                                                
    Czytaj trendy i inspiracje, podstawy automatyki, automatyk\u0119 w praktyce<\/p>\n<\/div>\n                        
    \n                                                                                            
    \n